Dimostrare l'equivalenza di due proposizioni

Due proposizioni, o meglio, due espressioni logiche sono equivalenti quando assumono gli stessi valori logici al variare dei parametri che le condizionano.

Dette A e B due espressioni logiche, per dimostrarne l'equivalenza, è sufficiente provare che l'una implica l'altra. Infatti:

$$(A \implies B) \land (B \implies A) \\ (\lnot A \lor B) \land ( \lnot B \lor A) \\ [(\lnot A \lor B) \land \lnot B] \lor [(\lnot A \lor B) \land A] \\ [(\lnot A \land \lnot B) \lor (B \land \lnot B)] \lor [ (\lnot A \land A) \lor (B \land A)] \\ (\lnot A \land \lnot B) \lor (B \land A) \\ A \equiv B$$

In maniera analoga, per dimostrarne l'equivalenza, è sufficiente provare che la negazione dell'una implichi la negazione dell'altra:

$$(\lnot B \implies \lnot A)  \land (\lnot A \implies \lnot B)$$