Si dimostrino le seguenti proposizioni notevoli sulle tautologie

Si dimostrino le seguenti proposizioni notevoli sulle tautologie:




Proposizione: Se $\mathbb{A}$ è una tautologia e se lo è anche $\mathbb{A}\supset\mathbb{B}$,
allora $\mathbb{B}$ è anch'essa una tautologia.

Dimostrazione: 
Se $\mathbb{A}$ è una tautologia, affinché lo sia anche $\mathbb{A}\supset\mathbb{B}$,
è necessario che $\mathbb{B}$ non assuma mai il valore falso. Quindi
$\mathbb{B}$ assume sempre vero.


Proposizione: Se $\mathbb{A}$ è una tautologia contenente gli enunciati $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$
e se $\mathbb{B}$ si ottiene da $\mathbb{A}$ sostituendo al posto
degli enunciati $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ rispettivamente le formule
enunciative $\mathbb{B}_{1},\mathbb{B}_{2},\ldots,\mathbb{B}_{n}$
allora anche $\mathbb{B}$ è una tautologia.

Dimostrazione
Infatti, qualunque siano i valori di verità $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$
assunti dalle formule $\mathbb{B}_{1},\mathbb{B}_{2},\ldots,\mathbb{B}_{n}$,
se associamo tali valori agli enunciati $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$
allora il risultante valore di verità di $\mathbb{A}$ sarà anche
il valore di verità di $\mathbb{B}$. Dal momento che $\mathbb{A}$
è sempre vera per ipotesi, lo sarà anche $\mathbb{B}$.


Proposizione: Sia $\mathbb{P}$ una formula logica contenente $\mathbb{A}$ in qualche
posizione. Sia $\mathbb{Q}$ una formula logica derivata da $\mathbb{P}$
sostituendo una o più occorrenza di $\mathbb{A}$ con $\mathbb{B}$.
Allora $(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})$
è una tautologia, ovvero se $\mathbb{A}$ e $\mathbb{B}$ sono logicamente
equivalenti allora lo sono anche $\mathbb{P}$ e $\mathbb{Q}$.

Dimostrazione:
Se $\mathbb{A}$ e $\mathbb{B}$ assumono valori logici discordi,
allora $(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})$ assume il valore F quindi l'implicazione
$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})$
è V indipendentemente dal valore logico di $\mathbb{P}$ e $\mathbb{Q}$.
Se, invece, $\mathbb{A}$ e $\mathbb{B}$ assumono valori logici concordi,
allora $(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})$ assume il valore V. Dato che
$\mathbb{A}$ e $\mathbb{B}$ assumono lo stesso valore nulla cambia
se in $\mathbb{P}$ si sostituisce una o più occorrenza di $\mathbb{A}$
con $\mathbb{B}$. Pertanto anche $(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})$
assume il valore F e l'implicazione $(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})$
è anche in questo caso V.